什么是图

图是描述物件之间的关系。
物件就是结点，物件之间的关系即是边。

所以我们可以发现几乎所有的关系都可以表示成图，dp可以表示成DAG(有向无环图)，搜索本质上是图的遍历算法，树也是特殊的图……

且图的存在也是非常重要的，很多问题都需要图的解决，比如导航就可以用图实现。

图的储存方式

图有多种储存方式，比如邻接矩阵，比如用vector。

邻接矩阵

定义 $map[u][v]$ (map是c++关键字)表示u和v节点直接有一条边。

空间复杂度为$O(n^{2})$，在$n<=10^3$的时候适用。

举个例子，现在输入2个人，他们是朋友，最后统计每个人有多少个朋友。

我们可以定义$w[1e3+5$][1e3+5]来存储2个人是否为朋友，遍历$w[i][1~n]$即可判断是否为朋友。

这样我们就用实现了$O(n)$输入，$O(n)$查询。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool w[1005][1005];  // w[x][y]: x 与 y 是否为朋友
int n, m;


void input() {
    cin >> n >> m;
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;

        // u, v 是朋友
        w[u][v] = 1;        // v 是 u 的朋友
        w[v][u] = 1;        // u 是 v 的朋友
    }
}

// 统计 x 有多少个朋友
int getCnt(int x) {
    // 枚举每一个人，判断他是否为 x 的朋友
    int res = 0;

    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(w[x][i]) res++;
    return res;
}

void work() {
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cout << getCnt(i) << endl;
}

int main() {
    input();
    work();

    return 0;
}

vector存图

vector存图可能是用的最多的了，有的人喜欢用链式前向星来存图，但实际上vector就是在做链式前向星做的事。

对于每一个点，开一个vector存下他的边，空间复杂度：$O(m)$，查询时间复杂度:$O(m)$是不是比邻接矩阵好多了？

当然当节点较少时还是邻接矩阵方便。

再将刚刚的问题用vector表示一下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n, m;
vector<int> e[100005];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << e[i].size() << endl;
    return 0;
}

总结

邻接矩阵：用$w[u][v]$存边权即可。
vector：需要写个结构体，来把邻居编号和边权打包起来;

邻接矩阵和vector存图的选择

图分为稀疏图和稠密图，当节点非常多，而边非常少的时候，他为稀疏图，反之则为稠密图。

因为vector没东西的时候几乎不用空间，所以我们可以选择vector，而当节点非常少，边非常多的时候我们就可以选择邻接矩阵存图。

有向图

刚刚我们为什么要把u和v都存一下对方呢？因为刚刚我们存储的是无向图，即两边都通，所以我们就需要把u和v都存一条通向对方的边。

有向图只需要只存一条边即可。

This post was written on Aug 16, 2022.